线性微分方程

Linear Differential Equation
控制系统的工具

通解为自由运动的模态特征方程的根
特解为系统特定输入对应的输出

线性微分方程解的结构

以二阶微分方程为例（可以扩展到 n 阶微分方程）

齐次线性方程

\begin{array}{r} y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0 \end{array}

如果 $y_{1} (x)$ 和 $y_{2} (x)$ 是方程的两个解，则线性组合也为方程的解
如果 $y_{1} (x)$ 和 $y_{2} (x)$ 是方程的两个线性无关的特解，则线性组合为方程的通解

\begin{array}{r} y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) \end{array}

非齐次线性方程

\begin{array}{r} y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f (x) \end{array}

$y^{*} (x)$ 是非齐次线性方程的一个特解， $Y (x)$ 是对应齐次方程的通解
则 $y = Y (x) + y^{*} (x)$ 为非齐次线性方程的通解

微分方程的解的叠加原理

微分方程的解符合叠加原理：

\begin{array}{r} y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{1} (x) + f_{2} (x) \end{array}

$y_{1}^{*}$ 是 $y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{1} (x)$ 的特解
$y_{2}^{*}$ 是 $y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{2} (x)$ 的特解
则 $y_{1}^{*} + y_{2}^{*}$ 为方程的特解

常数变易法

如果 $C y_{1} (x)$ 为齐次线性微分方程的通解
则可以利用变换将通解中的常数换为未知函数 $u (x)$
利用变换 $y = u (x) y_{1} (x)$ 来解非齐次线性方程